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2012/02/24 [その他]
春休みに入って少し経つ。
今は代数学を基本に勉強中。環論の基本、PID、UFD、素イデアル、極大イデアル、などなど定義がたくさんあって大変だ。あと体論の基礎。高木貞治の初等整数論講義も少しずつ読み進めている。代数は面白い。
解析概論は春休みが終わることには５章が終わりそう。
集合位相も勉強中、春休み後半には位相の勉強が出来そう。
数学以外では英語の勉強。特に発音。
二学期の成績はかなり良かった。数学科には余裕で行けそう。
今は代数学を基本に勉強中。環論の基本、PID、UFD、素イデアル、極大イデアル、などなど定義がたくさんあって大変だ。あと体論の基礎。高木貞治の初等整数論講義も少しずつ読み進めている。代数は面白い。
解析概論は春休みが終わることには５章が終わりそう。
集合位相も勉強中、春休み後半には位相の勉強が出来そう。
数学以外では英語の勉強。特に発音。
二学期の成績はかなり良かった。数学科には余裕で行けそう。
2011/12/29 [雑記]
2011/11/23 R [雑記]
こんばんは。
テストなどで忙しかったり、書くことなかったりで更新が出来ずにいました。
やはり授業が始まると自分の好きな勉強の時間がまとまって取れないですね。
最近は、代数の勉強から微分積分に重点を置くようになりました。
高木貞治の解析概論を読み始めましたよ。高校生の時、最初の実数の所が全然わからなくて、その先が読めなかったのですが、今は読める読める。
一年次の微分積分の授業は"使える"微分積分という感じです。それで勉強していたのですが、勉強すればするほど、実数の連続性の気味の悪さというか、不思議さ、そもそも実数っていったい？という疑問が出てきて、もやもやすることが多い。
そんな問題意識をもって読んだから自然に読めるのかなぁと思いました。と言ってもまだ読み始めたばかりですが。
これから授業も忙しくなるのでまとまった時間が取れないと思うので、春休みに読んで終おうという計画です。集合とか位相なども読んでます。
実数ってほんと不思議な存在ですよね。高校の時は"当たり前"という感覚で、√2などの数字も自然数と同等にこの世にはっきりと存在するものという認識だった。でも考えてみると√2なんて数字はどこにも、表現しずらいけれど"はっきり"とは存在してない。直角三角形を考えて2つの辺の長さが1なら斜辺は√2だけれど、それを実際に書いてみせることは不可能だ。そもそも長さを測ること自体無理な話だ。頭の中でしか存在できない。
それでも√2みたいな数字が自然に存在するように存在するように見えるのは、自然が"連続的"に変化しているのを自分が見て実感できてしまっているからかもしれない。物体が落下するときも連続的だ。だから√2のような数字も存在する、というように。
しかしもっと小さな世界、量子力学の視点でみれば、それも当たり前ではない。世界は離散的だ。
というようなことを考えつつ、実数って不思議な存在だよなぁとか思いながら勉強してます。
当たり前って感じていることを破壊していかなければならない。再構成してしまえば、なんということはない。新たな視点が手に入り、それでしか物を見れなくなる。
あと、微積に重点を置くようになったのは物理の存在が大きくなったのもありますね。ずっと力学勉強して、難しい数学は全然出てこなかったので油断していたのですが、ここへきて熱力学と電磁気学。高度な数学がどんどん出てくる。1年の段階では結果だけわかっていれば良いというところもあるのですが、流石に式の導出など完全にわかっていないと気持ちが悪い。これは解析学も一生懸命頑張って勉強しないとなぁ、という感じで勉強始めた次第。
大学生活は短そうなので勉強の長期的な計画とか立てた方が良いのだろうか？英語は頑張って勉強した方がよさそうですね。
そういえば少し前に、初雪と積雪しました。さすがは北海道。月曜日はマイナス5度の雪が降る中、学校へ行きました。雪景色に見とれていたのと、足元に気を付けて歩いていたので寒くはなかったですね。吹雪くと大変そうです。友人曰く今が一番寒く感じるらしい。根雪になれば、確かに気温は低いのだけれど、心理的には温かくなる、と言っていたので、なるほどなぁと思いましたね。
テストなどで忙しかったり、書くことなかったりで更新が出来ずにいました。
やはり授業が始まると自分の好きな勉強の時間がまとまって取れないですね。
最近は、代数の勉強から微分積分に重点を置くようになりました。
高木貞治の解析概論を読み始めましたよ。高校生の時、最初の実数の所が全然わからなくて、その先が読めなかったのですが、今は読める読める。
一年次の微分積分の授業は"使える"微分積分という感じです。それで勉強していたのですが、勉強すればするほど、実数の連続性の気味の悪さというか、不思議さ、そもそも実数っていったい？という疑問が出てきて、もやもやすることが多い。
そんな問題意識をもって読んだから自然に読めるのかなぁと思いました。と言ってもまだ読み始めたばかりですが。
これから授業も忙しくなるのでまとまった時間が取れないと思うので、春休みに読んで終おうという計画です。集合とか位相なども読んでます。
実数ってほんと不思議な存在ですよね。高校の時は"当たり前"という感覚で、√2などの数字も自然数と同等にこの世にはっきりと存在するものという認識だった。でも考えてみると√2なんて数字はどこにも、表現しずらいけれど"はっきり"とは存在してない。直角三角形を考えて2つの辺の長さが1なら斜辺は√2だけれど、それを実際に書いてみせることは不可能だ。そもそも長さを測ること自体無理な話だ。頭の中でしか存在できない。
それでも√2みたいな数字が自然に存在するように存在するように見えるのは、自然が"連続的"に変化しているのを自分が見て実感できてしまっているからかもしれない。物体が落下するときも連続的だ。だから√2のような数字も存在する、というように。
しかしもっと小さな世界、量子力学の視点でみれば、それも当たり前ではない。世界は離散的だ。
というようなことを考えつつ、実数って不思議な存在だよなぁとか思いながら勉強してます。
当たり前って感じていることを破壊していかなければならない。再構成してしまえば、なんということはない。新たな視点が手に入り、それでしか物を見れなくなる。
あと、微積に重点を置くようになったのは物理の存在が大きくなったのもありますね。ずっと力学勉強して、難しい数学は全然出てこなかったので油断していたのですが、ここへきて熱力学と電磁気学。高度な数学がどんどん出てくる。1年の段階では結果だけわかっていれば良いというところもあるのですが、流石に式の導出など完全にわかっていないと気持ちが悪い。これは解析学も一生懸命頑張って勉強しないとなぁ、という感じで勉強始めた次第。
大学生活は短そうなので勉強の長期的な計画とか立てた方が良いのだろうか？英語は頑張って勉強した方がよさそうですね。
そういえば少し前に、初雪と積雪しました。さすがは北海道。月曜日はマイナス5度の雪が降る中、学校へ行きました。雪景色に見とれていたのと、足元に気を付けて歩いていたので寒くはなかったですね。吹雪くと大変そうです。友人曰く今が一番寒く感じるらしい。根雪になれば、確かに気温は低いのだけれど、心理的には温かくなる、と言っていたので、なるほどなぁと思いましたね。
2011/10/10 [雑記]
一週間ぐらい前からシローの定理の証明を理解しようと勉強していたが、なかなか理解できなくていろいろな群の本を読み漁っていた。やっと二日前にシローp部分群が存在することがわかって、それに付随する定理の証明もわかった（気がする）。
群の位数から、ある程度その構造がわかってしまうという美しい定理です。すごい。
シロー(Sylow)はノルウェーの数学者。すごいのが1872年にこのシローの定理を発表したこと。（この時はまだ一般の有限群に関するものではなかったようですが）
ガロアの理論がようやく一部の数学者の間で理解されてきた時に重なると思います。
シローの定理であれこれ考えている間、環や体の本など読んでガロア理論もなんとなくですがわかってきました。雪江明彦著「代数学２ 環と体とガロア理論」も買って読み始めました。環はなかなか難しそうなこともたくさん書いてありそうで読みごたえがあります。
他に集合や位相など勉強したいなぁと思う。しかし大学の授業が優先なのでほどほどにしないとなぁとも思う。数学科志望なのでまず大丈夫だとは思うが。
群の位数から、ある程度その構造がわかってしまうという美しい定理です。すごい。
シロー(Sylow)はノルウェーの数学者。すごいのが1872年にこのシローの定理を発表したこと。（この時はまだ一般の有限群に関するものではなかったようですが）
ガロアの理論がようやく一部の数学者の間で理解されてきた時に重なると思います。
シローの定理であれこれ考えている間、環や体の本など読んでガロア理論もなんとなくですがわかってきました。雪江明彦著「代数学２ 環と体とガロア理論」も買って読み始めました。環はなかなか難しそうなこともたくさん書いてありそうで読みごたえがあります。
他に集合や位相など勉強したいなぁと思う。しかし大学の授業が優先なのでほどほどにしないとなぁとも思う。数学科志望なのでまず大丈夫だとは思うが。
タグ：日記
2011/10/01 [雑記]
昨日は学校終わって寝るまで、図書館で借りてきた桂利之「代数学Ⅰ 群と環」の環のページを読んだ。コンパクトにまとまっていてわかりやすい。まだ「ガロワと方程式」の多項式でのユークリッドの互除法が良くわからないけれど、多項式環や一意分解整域を考察すれば、一般的に理解できそうだ。ユークリッド整域というものがあるらしい。
今日は朝起きてから、群の作用のところを読んだ。
定理
Gが有限群で、位数が素数pの平方（|G|=p^2）ならば、Gは可換群である。
とても興味深いと思った。（証明は難しくなく、すっきりしている）
|G|=p^2ならば、どんな群になる積の規則を考えてもそれが可換群になる！
とても不思議だ。それを群の群に対する共役作用やその中心を考えれば証明できてしまうことも不思議だと思った。
群は面白い。
外の気温8度。今日は寒かった。
今日は朝起きてから、群の作用のところを読んだ。
定理
Gが有限群で、位数が素数pの平方（|G|=p^2）ならば、Gは可換群である。
とても興味深いと思った。（証明は難しくなく、すっきりしている）
|G|=p^2ならば、どんな群になる積の規則を考えてもそれが可換群になる！
とても不思議だ。それを群の群に対する共役作用やその中心を考えれば証明できてしまうことも不思議だと思った。
群は面白い。
外の気温8度。今日は寒かった。
タグ：群
2011/09/28 雑記 [雑記]
授業が始まりました。
また忙しくなります。
最近は、ずっと群などの数学の本を読んでました。
代数学のページがわかりやすくて、何度か参照しました。
代数学群論入門もそろそろ読み終わるので、環、体をざっと勉強して、ガロワ理論に入りたいと思います。
10月25日でちょうどガロワ生誕200年になります。
友人が一週間本気でやればガロワ理論は理解できる！といっていたので、その日までに理解できるのか？！
大学で久しぶりに数学の話をして圏論や基礎論なども面白そうだなと思った。
物理のかぎプロジェクト
代数学（http://hooktail.org/misc/index.php?%C2%E5%BF%F4%B3%D8）
また忙しくなります。
最近は、ずっと群などの数学の本を読んでました。
代数学のページがわかりやすくて、何度か参照しました。
代数学群論入門もそろそろ読み終わるので、環、体をざっと勉強して、ガロワ理論に入りたいと思います。
10月25日でちょうどガロワ生誕200年になります。
友人が一週間本気でやればガロワ理論は理解できる！といっていたので、その日までに理解できるのか？！
大学で久しぶりに数学の話をして圏論や基礎論なども面白そうだなと思った。
物理のかぎプロジェクト
代数学（http://hooktail.org/misc/index.php?%C2%E5%BF%F4%B3%D8）
4次対称群 [数学]
3週間ぐらい前に、具体的にいろんな群を作って眺めていた。3次の対称群S3の乗積表を作って、部分群がこれで、正規部分群が・・・というふうに、勉強していた。
そこで気になるのが4次対称群S4がどんな構造か。
S3の位数|S3|（#(S3)とも書く）は3!=6しかないので、地道にやれば36回計算すればよかった。
しかし、S4だと位数は24で24×24=576もある。これぐらい出来るだろうと思って表に書いてみたが、50回ぐらい計算したところで、大変だと気付いた（笑）
何か、効率的で簡単な方法はないだろうか。
GAPという群を調べるソフトがあるが、どうやってインストールすればいいかわからない。もう少し調べようと思う。
正多面体群も調べたいので、正多面体を実際に作ろうと思う。
ラグランジュの定理を証明してからフェルマーの小定理が当たり前に見えてきた。これも群のおかげか。
そこで気になるのが4次対称群S4がどんな構造か。
S3の位数|S3|（#(S3)とも書く）は3!=6しかないので、地道にやれば36回計算すればよかった。
しかし、S4だと位数は24で24×24=576もある。これぐらい出来るだろうと思って表に書いてみたが、50回ぐらい計算したところで、大変だと気付いた（笑）
何か、効率的で簡単な方法はないだろうか。
GAPという群を調べるソフトがあるが、どうやってインストールすればいいかわからない。もう少し調べようと思う。
正多面体群も調べたいので、正多面体を実際に作ろうと思う。
ラグランジュの定理を証明してからフェルマーの小定理が当たり前に見えてきた。これも群のおかげか。
2011/09/10 気温 [雑記]
代数学１群論入門、50ページまでたどり着いた。
準同型、同型、内部自己同型、自己同型群、内部自己同型、共役、同値類、選択公理、well-defined、剰余類・・・。
いろんな概念が自分の中で組み立てられていく。
今日は、半袖だと寒い一日でした。
もう秋ですねーって感じです。
観測データ上位（低温）
↑を見ていると面白い。大体北海道なのだが、時々それよりも寒いところが出てくることがある。
高山市荘川町六厩、本州で一番寒い場所の一つらしい。よくランキングで一番になっていたりする。9月7日に最低気温5度を記録していたりするのでびっくりする（冬は－20度以下になる日も多いらしい。）。日本でも一番暑いところの一つである岐阜県にそんなところがあるのが不思議だ。一度行ってみたい。
六厩
準同型、同型、内部自己同型、自己同型群、内部自己同型、共役、同値類、選択公理、well-defined、剰余類・・・。
いろんな概念が自分の中で組み立てられていく。
今日は、半袖だと寒い一日でした。
もう秋ですねーって感じです。
観測データ上位（低温）
↑を見ていると面白い。大体北海道なのだが、時々それよりも寒いところが出てくることがある。
高山市荘川町六厩、本州で一番寒い場所の一つらしい。よくランキングで一番になっていたりする。9月7日に最低気温5度を記録していたりするのでびっくりする（冬は－20度以下になる日も多いらしい。）。日本でも一番暑いところの一つである岐阜県にそんなところがあるのが不思議だ。一度行ってみたい。
六厩
平方根を求める漸化式 [数学]
一週間ほど前、連分数について面白い結果を得た。
√7の連分数展開をする過程で漸化式
X(n+1)=(15+6X(n))/(26+5X(n))
X(n+1)=(480+111X(n))/(751+160X(n)) （一つ目の式から簡単にわかる。以下同様）
X(n+1)=(14145+3066X(n))/(21926+4715X(n))
これらは√(7)-2に収束する。これを求める過程で得られる数列も興味深いものだった。
それで、連分数についてネットで調べていたところ面白い記事を見つけた。
http://blog.goo.ne.jp/slide_271828/e/3a0022518b64ba9deb054c588d3c3b11
（271828の滑り台Log「連分数（マルチポスト）」）
どうやら、ある人のマルチポストからの問題らしい。（困ったものだ）
√7に収束するf(x)=(ax+b)/(cx+d)という形の関数を見つけ出せ、といもの。
面白そうだし、自分が今考えていることと関係があったので考えてみた。
(ax+b)/(cx+d)=x
を解けば
x=(a-d)±√((a-d)^2+4cb)/2c
xが√(整数)の形になればよいので
a-d=0
求める平方根の二乗をrとおけば
b=rc
つまり、
(ax+rc)/(cx+a) (1)
となります。
次により早く収束するようにします。
グラフの図形的考察から
(ax+b)/(cx+d)=x
を満たすxの近くでは、|f'(x)|<1でないと、たとえ(1)を満たしていても、収束する先から離れて行ってしまう。さらにf'(x)の大きさが小さければ小さいほど、早く収束することがわかる。（実際書いてみるとわかると思う）
実際計算すると
f'(x)=(a(cx+d)-(ab+b)c)/(cx+d)^2
=(2acx+ad-bc)/(cx+d)^2
つまり、ad-bcが小さいほど早く収束する。ad-bc=1がベスト。
最初の結果と合わせて、r=7とすると
a^2-7c^2=1
と解けばいいことになります。（ここでフェルマー・ベル方程式に帰着できることがわかったときはうれしかったし、感動した。）
a=8,c=3がこれを満たす。
よって、
f(x)=(8x+21)/(3x+8)
が得られます。
こちらのページで同じようにペル方程式に帰着された結果があったので、安心した。
http://blog.goo.ne.jp/slide_271828/e/922e814742bf5e0de42d1de8ad061202
（271828の滑り台Log「無理数と連分数（追記あり）」）
意外なところで、ペル方程式が出てきたのは驚いたし感動した。
この記事を書いている途中、地震があった。（震度１～２）
速報によると
震度5強 道南 日高地方中部 新ひだか町
大丈夫だろうか。
√7の連分数展開をする過程で漸化式
X(n+1)=(15+6X(n))/(26+5X(n))
X(n+1)=(480+111X(n))/(751+160X(n)) （一つ目の式から簡単にわかる。以下同様）
X(n+1)=(14145+3066X(n))/(21926+4715X(n))
これらは√(7)-2に収束する。これを求める過程で得られる数列も興味深いものだった。
それで、連分数についてネットで調べていたところ面白い記事を見つけた。
http://blog.goo.ne.jp/slide_271828/e/3a0022518b64ba9deb054c588d3c3b11
（271828の滑り台Log「連分数（マルチポスト）」）
どうやら、ある人のマルチポストからの問題らしい。（困ったものだ）
√7に収束するf(x)=(ax+b)/(cx+d)という形の関数を見つけ出せ、といもの。
面白そうだし、自分が今考えていることと関係があったので考えてみた。
(ax+b)/(cx+d)=x
を解けば
x=(a-d)±√((a-d)^2+4cb)/2c
xが√(整数)の形になればよいので
a-d=0
求める平方根の二乗をrとおけば
b=rc
つまり、
(ax+rc)/(cx+a) (1)
となります。
次により早く収束するようにします。
グラフの図形的考察から
(ax+b)/(cx+d)=x
を満たすxの近くでは、|f'(x)|<1でないと、たとえ(1)を満たしていても、収束する先から離れて行ってしまう。さらにf'(x)の大きさが小さければ小さいほど、早く収束することがわかる。（実際書いてみるとわかると思う）
実際計算すると
f'(x)=(a(cx+d)-(ab+b)c)/(cx+d)^2
=(2acx+ad-bc)/(cx+d)^2
つまり、ad-bcが小さいほど早く収束する。ad-bc=1がベスト。
最初の結果と合わせて、r=7とすると
a^2-7c^2=1
と解けばいいことになります。（ここでフェルマー・ベル方程式に帰着できることがわかったときはうれしかったし、感動した。）
a=8,c=3がこれを満たす。
よって、
f(x)=(8x+21)/(3x+8)
が得られます。
こちらのページで同じようにペル方程式に帰着された結果があったので、安心した。
http://blog.goo.ne.jp/slide_271828/e/922e814742bf5e0de42d1de8ad061202
（271828の滑り台Log「無理数と連分数（追記あり）」）
意外なところで、ペル方程式が出てきたのは驚いたし感動した。
この記事を書いている途中、地震があった。（震度１～２）
速報によると
震度5強 道南 日高地方中部 新ひだか町
大丈夫だろうか。
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